¿Por qué siempre se mete la bola blanca? (1)

El otro día estaba discutiendo sobre un amigo las propiedades físicas del billar. El debate estaba en torno a que la dinámica del juego cambia si jugamos a un billar de monedas o de pago por tiempo.

Supongo que los lectores conocerán los principios básicos del billar americano, donde una bola blanca ha de ir golpeando sucesivamente a distintas bolas de color para ir introduciendolas por las troneras y así conseguir puntos.

En principio, todas las bolas son del mismo tamaño y peso, haciendo que la mecánica del juego sea muy fácil. Además unas bolas y una mesa en perfectas condiciones nos permiten presuponer ciertas propiedades.

1) El hecho de que las bolas vayan rodando suavemente por una superficie horizontal equivale a suponer que se desplazan a velocidad constante por una superficie sin rozamiento. Lógicamente, esta hipótesis no es valida ya que la bola siempre se acaba parando, pero si visualizamos únicamente trozos pequeños de la trayectoria, veremos que no anda muy lejos de la realidad. Como veremos más adelante, esta hipótesis deja de ser cierta cuando se golpea a la bola fuera del centro, es decir, cuando coge efecto.

2) La rigidez de las bolas hace que el impacto de una contra otra o contra la banda pueda suponerse perfectamente elástico. Eso significa que no se disipa energía en el golpe. Esto también es falso, ya que siempre se pierde algo de energía (por ejemplo, oímos el golpe, lo que significa que parte de la energía va a parar al aire). Sin embargo, la cantidad de energía que se pierde es muy pequeña comparada con la que se transmite.

Así pues, podemos resolver el impacto de una con la otra de manera muy sencilla, como vemos en la siguiente animación.



En este caso, vemos que la bola blanca (representada por la masa negra), se queda parada tras impactar con la bola de color. Pero, si eso es cierto, ¿por qué, en las mesas de monedas, la bola blanca sigue hacia adelante y acaba entrando también en la tronera?

Esto ocurre porque en las mesas automáticas de monedas, la bola blanca ha de ser reconocida por el sistema para poder ser recuperada si es introducida a mitad de la partida. Como los sistemas de reconocimiento óptico son muy caros, se decidió usar una solución más sencilla y barata: la bola blanca es más grande y pesada.

Con esto, y un sencillo sistema de palancas, se consigue separar la bola blanca del resto. Sin embargo, la física se pone en contra del jugador.

Analicemos en profundidad un choque elástico. Lo primero y fundamental en todo choque es el principio de conservación del momento. Todos conocemos la segunda ley de Newton, que dice que la fuerza es igual a la masa por la acceleracion:



Dado que la acceleración es el cambio con respecto al tiempo de la velocidad, y si suponemos que la masa también puede cambiar, se traduce en:



Donde m es la masa, v es la velocidad y d/dt significa variación con respecto al tiempo. Así pues, si la suma de las fuerza exteriores es cero, la variación del producto mv (que se llama momento) es cero. Es decir, no varía.

En el billar podemos decir que sólo cuando golpeamos a una bola con el taco, estamos cambiando el momento del conjunto de todas las bolas. Pero todos los impacto y rebotes que peguen entre ellas, al no haber fuerzas externas, harán el que el momento se vaya trasmitiendo de una a otra. Pues en ecuación se traduce en:



Donde el subindice 1 indica que es la bola blanca, y el subindice 2 indica que es la bola de color. Las letras sin prima (') indica que es antes del golpe, y con prima, después del impacto.

Del mismo modo, como hemos dicho antes, en un choque elástico se conserva la energía, que en este caso, tiene forma de energía cinética.



Si sabemos que el total se conserva, tenemos que:



Ahora queremos saber la velocidad final que tendrán ambas bolas después del impacto. Haciendo un poco de matemáticas, tenemos que:





Supongamos el caso de la animación anterior, donde m1 = m2 = m, v1 = v y v2 = 0. Haciendo cuentas nos sale que v1' = 0 y v2' = v, que es justo lo que nos representa la animación. Es decir, toda la velocidad se transmite a la segunda bola.

Sin embargo, ¿qué pasa cuando la masa de la bola blanca m1 es mas grande? Por simplificar, supongamos que es el doble m1 = 2m. Haciendo las mismas cuentas, no sale que v2' = 2v/3 y... v1'=1v/3.

Es decir, después del impacto, ¡la bola blanca sigue conservando parte de la velocidad! Por lo tanto, si va de camino a la tronera, acabará entrando en ella. Y esto solo pasa en las maquinas de monedas, donde la bola blanca ha de ser distinta.

Pero aún hay más motivos para que eso ocurra. Mañana veremos la segunda parte.